心よりは、文語的な表現であり [この度は心よりお悔やみ申し上げます] という使い方をします。
一般的によく使われる言葉で [衷心] よりも聞き慣れているので意味も伝わりやすいでしょう。
意味としては衷心よりも弱くなりますが、状況によって使った方が良い場合もあります。
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